有限维线性算子的谱

有限维线性算子谱的定义

A 的谱 (spectrum) 记作 $\sigma(A)$。对有限维方阵来说，谱就是全部特征值 (eigenvalue) 组成的集合。

是否可以谱分解

是否可谱分解，取决于 A 是否可对角化 (diagonalizable)；若还要求用正交或酉基分解(特征向量相互正交)，则取决于 A 是否正规 (normal $A^*A=AA^*$)。

$$A=PDP^{-1}$$

谱投影

$$P= \begin{bmatrix} | & | & & |\\ v_1 & v_2 & \cdots & v_n\\ | & | & & | \end{bmatrix}$$

$$P^{-1}= \begin{bmatrix} w_1^T\\ w_2^T\\ \vdots\\ w_n^T \end{bmatrix}$$

$w_i^T$ 为左特征向量, 因为 $w_i^T A = \lambda_i w_i^T$

$$\begin{aligned} PDP^{-1} &= \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1^T\\ w_2^T\\ \vdots\\ w_n^T \end{bmatrix}\\ &= \sum_{i=1}^n \lambda_i\, v_i w_i^T. \end{aligned}$$

谱投影(本证投影)定义为

$$P_i:=v_i w_i^T.$$