Navier-Stokes

梯度

标量函数

一元标量函数

$$\Delta y = f'(x)dx + o(dx)$$

$$\Delta y = f'(x)dx + \frac{f''(x)}{2!}dx^2 + o(dx^2)$$

$$\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a).$$

多元标量函数

$$\Delta \phi = \nabla \phi \cdot d\mathbf{x} + o(\|d\mathbf{x}\|)$$

$$\Delta \phi=\nabla \phi \cdot d\mathbf{x}+\frac{1}{2!}d\mathbf{x}^T H d\mathbf{x}+o(\|d\mathbf{x}\|^2)$$

$$\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{x}_1)-\phi(\mathbf{x}_0)$$

二阶偏导数组成一个 $n\times n$ 矩阵，叫 Hessian 矩阵：

$$H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_1\partial x_n} \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_2\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_n\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_n^2} \end{pmatrix}$$

H 是对称阵, 可以正交对角化. H 特征值表示在 主方向–特征向量方向上曲面的凹凸程度.

向量值函数

一元向量值函数

$\mathbf{F}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^m$

$$\Delta \mathbf{F}=\mathbf{F}'(x)dx + o(dx)$$

$$\Delta \mathbf{F}= \mathbf{F}'(x)dx + \frac{1}{2!}\mathbf{F}''(x)dx^2+o(dx^2)$$

多元向量值函数

$\mathbf{F}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$

$$\Delta \mathbf{F}=J_{\mathbf{F}}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}+o(\|d\mathbf{x}\|)$$

$$\Delta \mathbf{F}=J_{\mathbf{F}}d\mathbf{x}+\frac{1}{2!}\begin{pmatrix}d\mathbf{x}^T H_1 d\mathbf{x}\\ \vdots\\ d\mathbf{x}^T H_m d\mathbf{x}\end{pmatrix}+o(\|d\mathbf{x}\|^2)$$

雅克比矩阵为

$$J_{\mathbf{F}}(\mathbf{x})=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

二阶导构成 m 个 Hessian 矩阵，构成三阶张量，形状 $m\times n\times n$

$$\begin{pmatrix}d\mathbf{x}^T H_1 d\mathbf{x}\\ \vdots\\ d\mathbf{x}^T H_m d\mathbf{x}\end{pmatrix}$$

应用

速度场的梯度 等价于 速度场的Jacobian矩阵 $\boxed{\nabla \mathbf{u}=J_{\mathbf{u}}}$

$$\frac{\partial u_i}{\partial x_j} =\begin{pmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y} & \dfrac{\partial u}{\partial z} \\[6pt] \dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y} & \dfrac{\partial v}{\partial z} \\[6pt] \dfrac{\partial w}{\partial x} & \dfrac{\partial w}{\partial y} & \dfrac{\partial w}{\partial z} \end{pmatrix}$$

其中:
$i$：行指标
$j$：列指标

速度梯度分解: $d\mathbf{u}=\nabla \mathbf{u} d\mathbf{x} = \mathbf{S} d\mathbf{x} + \mathbf{\Omega}d\mathbf{x}$
$S$ 对称，描述流体微团的拉伸、压缩和剪切。

$$S=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial v}{\partial x}\right) & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u}{\partial z}+\dfrac{\partial w}{\partial x}\right) \\[10pt] \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial v}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial y}\right) & \dfrac{\partial v}{\partial y} & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial v}{\partial z}+\dfrac{\partial w}{\partial y}\right) \\[10pt] \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial w}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial z}\right) & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial w}{\partial y}+\dfrac{\partial v}{\partial z}\right) & \dfrac{\partial w}{\partial z} \end{pmatrix}$$

• 对角元 $S_{xx},S_{yy},S_{zz}$：沿坐标轴方向的伸长或缩短速率；
• 非对角元 $S_{xy}$：剪切变形速率。

$\Omega$ 反对称，描述流体微团整体像刚体一样旋转。

$$\Omega=\begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}-\dfrac{\partial v}{\partial x}\right) & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u}{\partial z}-\dfrac{\partial w}{\partial x}\right) \\[10pt] \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}\right) & 0 & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial v}{\partial z}-\dfrac{\partial w}{\partial y}\right) \\[10pt] \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial w}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial z}\right) & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial w}{\partial y}-\dfrac{\partial v}{\partial z}\right) & 0 \end{pmatrix}$$

速度场的旋度为涡量场

$$\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{u}=\begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\[4pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[8pt] u & v & w \end{vmatrix}$$

可证明

$$\Omega\,d\mathbf{x}=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\times d\mathbf{x}=\boldsymbol{\Omega}_{\text{angular}}\times d\mathbf{x}$$

速度梯度的反对称部分 $\Omega$ 作用在无穷小位移 $d\mathbf{x}$ 上，得到的是邻近点相对微团中心的速度增量中的旋转部分；它等价于“微团角速度矢量叉乘 $d\mathbf{x}$”，即把微团瞬时当作刚体自转时所产生的局部相对线速度。

散度

通量

$$\Phi_S(\mathbf F)=\oint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS$$

• 速度场: 单位时间内穿过曲面 $S$ 的流体体积 $m^3/s$ (标量)

向量场的散度

$$\nabla \cdot \mathbf F=\lim_{V\to 0}\frac{1}{|V|}\oint_{\partial V}\mathbf F\cdot \mathbf n\,dS$$

$$\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

• 速度场: 单位体积的流体在单位时间内体积的膨胀率或压缩率 $s^{-1}$ (标量)

二阶张量场的散度

$$\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}=\lim_{V\to 0}\frac{1}{|V|}\oint_{\partial V}\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf n\,dS$$

$$\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z} \\[6pt] \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} \\[6pt] \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \end{pmatrix}$$

• 应力张量: 作用在单位体积流体微团上的净面力 $N/m^{3}$ (向量)
• ⚠️缩并指标: $(\nabla\cdot T)_i=\partial_j T_{ij}$

旋度

环量

$$\Gamma = \oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf l$$

• 力场: 沿闭合路径做的功 $N*m$ (标量)

向量场的旋度

旋度 $\nabla\times\mathbf F$ 是唯一满足下式的矢量：
对任意单位方向 $\hat{\mathbf n}$，

$$(\nabla\times\mathbf F)\cdot\hat{\mathbf n} = \lim_{S\to 0}\frac{1}{S}\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf l$$

其中 $C$ 是点 $P$ 附近、法向为 $\hat{\mathbf n}$ 的小回路。

$\nabla\times\mathbf F$的方向和大小：

• 方向：使环量面积密度最大的方向；
• 大小：该最大值的绝对值。

$$\nabla\times\mathbf{F}=\begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\[4pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[8pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$$

• 力场: 旋度是功的面积密度矢量，方向是单位面积净功最大的小回路平面的法向，大小是该最大单位面积净功。
• 速度场: 涡量 (vorticity)，速度场的局部旋转强度，方向是局部旋转轴，大小是该点流体微团净旋转角速度的两倍。

二阶张量场的旋度(略，暂不需要)

梯度无旋，旋度无散

$\because \oint_C{\nabla f \cdot d\mathbf{l} \equiv 0}$ 积分与路径无关
且$\oint_C{\nabla f \cdot d\mathbf{l} = \int_S \left[\nabla \times (\nabla f)\right]} \cdot \mathbf{n} dS$

$$\therefore \nabla \times (\nabla f) \equiv 0$$

$\because \oint_{C_+}{\mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \int_{S_+} (\nabla \times \mathbf{F})} \cdot \mathbf{n} dS_+$
$\quad \oint_{C_-}{\mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \int_{S_-} (\nabla \times \mathbf{F})} \cdot \mathbf{n} dS_-$

$$\therefore 0 \equiv \oint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} dS$$

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) \equiv 0$$

拉普拉斯

待续

不可压 Navier-Stokes

Cauchy 应力张量

$$\boldsymbol{\sigma}= \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}$$

• 第一个角标：力的方向；
• 第二个角标：作用面的法向。

有些力学书写反(比如材料力学)。流体力学统一用“先力后法向”

Traction 面力密度矢量

真实作用在流体微元表面上的总面力(单位面积力)

$$\mathbf{t}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}$$

• $\mathbf{n}$：微元表面的单位外法向
• $\mathbf{t}(\mathbf{n})$：作用在该表面上微团受到的面力密度矢量
• $\boldsymbol{\sigma}$：总应力张量, 包含压力和各方向的黏性应力

⚠️: $T\cdot v$ 让 $T$ 的第二个指标 $j$ 与 $v$ 的指标 $j$ 缩并：

$$(T\cdot v)_i=T_{ij}v_j.$$

⚠️: 写成矩阵形式，若 $v$ 是列向量，则

$$T\cdot v=T v.$$

本构关系

牛顿流体（Newtonian fluid），不可压时：

$$\boldsymbol{\sigma}=-p\,\mathbf{I}+2\mu\,\mathbf{S}$$

正应力

$$\sigma_{xx}=-p+2\mu\frac{\partial u}{\partial x}$$

$$\sigma_{yy}=-p+2\mu\frac{\partial v}{\partial y}$$

$$\sigma_{zz}=-p+2\mu\frac{\partial w}{\partial z}$$

切应力

$$\sigma_{xy}=\sigma_{yx}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)$$

$$\sigma_{xz}=\sigma_{zx}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\right)$$

$$\sigma_{yz}=\sigma_{zy}=\mu\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right)$$

应力场: 在空间每一点 $\mathbf{x}=(x,y,z)$、每个时刻 $t$，都存在一个张量 $\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x},t)$, 给定 $(\mathbf{u},p)$，应力场就唯一确定了. 描述每点附近的流体微元，通过其表面与相邻流体微元之间互相推、拉、剪的强弱。

应力张量 $\boldsymbol{\sigma}$ 的另一个身份是动量通量张量 (momentum flux tensor)

$\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}$ 就是单位体积的净动量流出率(向量)

动量方程 - 有限体积

$$\begin{aligned} \mathbf{F}_{\text{total}}&=\underbrace{\oint_{\partial V}\mathbf{t}(\mathbf{n})\,dA}_{\text{surface}}+\underbrace{\int_V \rho\mathbf{f}\,dV}_{\text{body}}\\ &=\oint_{\partial V}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\,dA +\int_V \rho\mathbf{f}\,dV \\ &=\int_V\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\rho\mathbf{f}\right)dV \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\int_{V_{sys}} \rho\mathbf{v}\,dV &=\int_V \rho \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial{t}}dV+\oint_{\partial V}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})dS \\ &=\int_V \rho \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial{t}}dV+\oint_{\partial V}\rho\mathbf{v}\otimes \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}dS \\ &=\int_V \rho \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial{t}}dV+\int_V \rho \nabla \cdot (\mathbf{v}\mathbf{v})dV \\ &=\int_V \rho \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial{t}}dV+\int_V \rho (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}dV \\ &=\int_V \rho \left[\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial{t}}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right]dV \\ &=\int_V \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}dV \end{aligned}$$

⚠️等号左边是 $V_{sys}$, 右边是 $CV$, 注意解读正负号

$(\mathbf a\otimes\mathbf b)_{ij}=a_i b_j=\mathbf{a}\mathbf{b}^T$

动量方程 - 流体微团

$$\rho \frac{D\mathbf{v}}{dt} =\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\rho\mathbf{f}$$

$$\rho \frac{D\mathbf{v}}{dt} =-\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau}+\rho\mathbf{f}$$

$$\rho \frac{D\mathbf{v}}{dt} =-\nabla p + \nabla\cdot 2\mu \mathbf{S}+\rho\mathbf{f}$$

$$\rho \frac{D\mathbf{v}}{dt} =-\nabla p + \nabla\cdot \mu \nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{f}$$

$$\rho\left[\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right] =-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{f}$$

关键点: 粘性应力张量的散度 → 速度拉普拉斯

流线, 流管

某一时刻 $t_0$

$$\frac{d\mathbf{r}}{ds} \ || \ \mathbf{V}(\mathbf{r})$$

取比例系数为 1 :

$$\frac{d\mathbf{r}}{ds} = \mathbf{V}(\mathbf{r})$$

这是自治系统（autonomous system）, 复杂流场中 $\mathbf F(\mathbf x)$ 大概率非线性

$$\dot{\mathbf x}=\mathbf F(\mathbf x),\qquad \mathbf x\in\mathbb R^n ,$$

展开成分量形式:

$$\begin{cases} \dfrac{dx}{ds}=u(x(s),y(s),z(s))\\[6pt] \dfrac{dy}{ds}=v(x(s),y(s),z(s))\\[6pt] \dfrac{dz}{ds}=w(x(s),y(s),z(s)) \end{cases}$$

复杂流场中，流线的解析解通常很难甚至不可能求出，实际工程和研究中主要靠数值积分

取一条不与 $\mathbf u$ 相切的简单闭曲线 $C$。过 $C$ 上每一点作流线，这些流线扫出的管状结构就是流管 (streamtube)。

速度通量(体积流量)

$$Q\coloneqq\int_A \mathbf u\cdot\mathbf n\,dA$$

流量延流管守恒

$$0 \equiv \int_V \nabla\cdot\mathbf u\,dV =\oint_{\partial V}\mathbf u\cdot\mathbf n\,dA$$

取封闭曲面为流管某一段, 侧面通量为0, 两侧截面流量必然守恒.

涡量方程

$$\frac{\partial \boldsymbol\omega}{\partial t} +(\mathbf u\cdot\nabla)\boldsymbol\omega =(\boldsymbol\omega\cdot\nabla)\mathbf u +\nu\nabla^2\boldsymbol\omega +\nabla\times\mathbf f.$$

• $(\boldsymbol\omega\cdot\nabla)\mathbf u$：涡管拉伸与倾斜项 (vortex stretching and tilting)。三维流动中，涡管被拉伸会变细，涡量增强；速度场不均匀会使涡线倾斜。
• $\nu\nabla^2\boldsymbol\omega$：粘性扩散 (viscous diffusion)。粘性使涡量从高浓度区向低浓度区扩散，涡旋逐渐衰减。
• $\nabla\times\mathbf f$：非保守外力的涡量源。若外力有势，即 $\mathbf f=-\nabla\Phi$，则 $\nabla\times\mathbf f=\mathbf 0$，外力不产生涡量。
• 压力项消失：因为 $\nabla\times(\nabla p)=\mathbf 0$。在不可压流中，压力不直接产生涡量，只通过满足 $\nabla\cdot\mathbf u=0$ 间接影响流动。

$(\boldsymbol\omega\cdot\nabla)\mathbf u$ 表示涡量沿自身方向被速度梯度拉伸、压缩和转向。物理图像是：一根涡管 (vortex tube) 被流动拉长时，角动量守恒使涡量强度增大；同时黏性扩散试图把涡量抹平。三维 NS 的全局正则性问题，核心就在于这个拉伸项是否能在有限时间把涡量放大到使解失去光滑。
二维没有这个项，所以涡量只被输运和扩散。二维 NS 对光滑初值有全局适定性，正是因为缺少涡管拉伸机制。
一个生活类比：二维像水面上的一圈圈涡旋，涡旋只能移动、合并、被黏性抹平；三维像把一根根涡管在三维空间里拉面、拧麻花，涡管可以被拉细拉长，涡量局部增强，黏性能否总是压住它，是未解问题。

涡线, 涡管

某一时刻 $t_0$

$$\frac{d\mathbf x(s)}{ds}=\boldsymbol\omega(\mathbf x(s))$$

取一条不与 $\boldsymbol\omega$ 相切的简单闭曲线 $C$。过 $C$ 上每一点作涡线，这些涡线扫出的管状结构就是涡管 (vortex tube)。

涡通量(延闭合曲线的速度环量)

$$\Gamma \coloneqq \int_A \boldsymbol\omega\cdot\mathbf n\,dA=\oint_{\partial A}\mathbf u\cdot d\mathbf l$$

涡通量延涡管不变

$$0 \equiv \int_V \nabla\cdot\boldsymbol\omega\,dV =\oint_{\partial V}\boldsymbol\omega\cdot\mathbf n\,dA$$

取封闭曲面为涡管某一段, 侧面通量为0, 两侧截面涡通量必然守恒.

Vortex 对比 Vorticity

Vorticity 是由速度场的旋度场。而 Vortex 是“宏观的，模糊的”一种相干结构。相干结构是一个操作性、任务依赖的概念, 没有“规范定义”。一个常用工作定义是：相干结构是流场中一块连通的、在空间上和时间上具有强相关或相位相关 (phase-correlated) 的组织化运动区域，它对能量、输运或混合有显著贡献。

所以，对 Vortex 的识别也具有一定模糊性和主观性。最直接的，已知速度场，可以通过肉眼观察发现一些具有漩涡特性的结构。通常肉眼只能发现大结构，细小的，隐藏的容易忽视。

$Q$ 准则和 $\lambda_2$ 准则是CFD中最常用的 Vortex 识别工具，但不是唯一标准，具有一定主观性，它们只能识别局部涡核。涡核 (vortex core) 是这些判据圈出来的核心区域。涡核也没有唯一几何边界，跟判据中阈值参数的选取有关。

⚠️Vortex 和 Vorticity 之间没有必然关系 参考 NSF Fluid Mechanics Series

• 具有 Vortex，但 Vorticity 为 0：
  • 势涡 = 无旋涡 = 点涡 = 自由涡，Vorticity处处为零，全部集中在Vortex中心的奇异点上。
    
• 没有 Vortex，但 Vorticity 不为 0:
  • 剪切边界层内。
• 具有 Vortex, 但 Vorticity 处处等于 $2\Omega$
  • 流体刚体旋转
• 具有 Vortex, 但 Vorticity 梯度很小, 接近无旋
  • Lid-Cavity

⚠️尽管 Vortex 和 Vorticity 没有必然联系. 但现实中观察到的旋涡很多时候中心有一个集中涡量区。这个核心区确实高涡量，所以用它们建立直觉是可以的:

• 可见的漩涡范围通常远大于涡量集中的核心；
• 外围很大一部分流动可能近似自由涡，那里局部涡量很小甚至为零；

涡的重连（reconnection）和 级联（cascade）

• Simulation：Yao,2019
• Real World：Wingtip_vortices

角动量

能量

弱形式

无量纲化